Question

设数列{x_n}满足x_n≠1且（n∈N^*），前n项和为S_n．已知点p₁（x₁，S₁），P₂（x₂，s₂），…P_n（x_n，s_n）都在直线y=kx+b上（其中常数b，k且k≠1，b≠0），又y_n=log．
（1）求证：数列{x_n]是等比数列；
（2）若y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t、s∈N^*，s≠t使得点（t，y_t）和点（s，y_t）都在直线y=2x+1上．问是否存在正整数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由an+1=Sn+1-Sn着手考虑，把点Pn、Pn+1的坐标代入直线y=kx+b，然后两式相减得xn+1与xn的关系式，即可得到结论；（2）由（1）知{xn}是等比数列，则根据条件消去yn得xn与n的关系式，此时与等比数列通项xn=x1qn-1相比较，易得x1与q，进而可求得k与b．
（3）由{xn}是等比数列且yn=log0.5xn可得数列{yn}为等差数列；当n＞M时，xn＞1恒成立问题应利用yn=log0.5xn转化为yn＜0恒成立的问题，列不等式组，解出M，即可得到结论．
（1）证明：∵点Pn（xn，Sn），Pn+1（xn+1，Sn+1）都在直线y=kx+b上，
∴Sn=kxn+b，Sn+1=kxn+1+b
两式相减得Sn+1-Sn=kxn+1-kxn，即xn+1=kxn+1-kxn，
∵常数k≠0，且k≠1，∴=（非零常数）
∴数列{xn]是等比数列；
（2）【解析】
由yn=log0.5xn，得xn=（）yn=8n-6，
∴=8，得k=．
又Pn在直线上，得Sn=kxn+b，
令n=1得b=S1-x1=-x1=-；
（3）【解析】
∵yn=log0.5xn，∴当n＞M时，xn＞1恒成立等价于yn＜0恒成立．
∵存在t，s∈N*，使得（t，ys）和（s，yt）都在y=2x+1上，
∴ys=2t+1 ①，yt=2s+1 ②．
①-②得：ys-yt=2（t-s），
∵s≠t，∴{yn}是公差d=-2＜0的等差数列
①+②得：ys+yt=2（t+s）+2，
又ys+yt=y1+（s-1）•（-2）+y1+（t-1）•（-2）=2y1-2（s+t）+4
由2y1-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y1=2（t+s）-1＞0，
即：数列{yn}是首项为正，公差为负的等差数列，
所以一定存在一个最小自然数M，使，即
 解得t+s-＜M≤t+s+．
∵M∈N*，∴M=t+s．
即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，xn＞1恒成立．