Question

如图：∠BAD=α，∠CAD=β，．
（1）求∠BAC的大小；
（2）当D为BC中点时，判断△ABC的形状，并求的值．

Answer

（1）由sin2α+cos2α=1求出sinα和cosβ，然后由cos∠BAC=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ即可求出角的大小；
（2）由D为BC中点时得出S△ABD=S△ACD即可得出得，然后由余弦定理得出AB=BC进而知∠ABC=90°，最后求出AC和AD从而得出答案．
【解析】
（1）由已知，…（2分）
cos∠BAC=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=
∵∠BAC∈（0，π）∴．…（4分）
（2）当D为BC中点时，S△ABD=S△ACD，可得，
即…（6分）
由余弦定理，，
即AB=BC，知∠ABC=90°．…（8分）
设，所以，．…（12分）