Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）]若二面角C₁-BD-C的大小为60^o，求异面直线BC₁与AC所成角的大小．

Answer

解法一：
（Ⅰ）欲证明直线与平面垂直，可以先证明直线与直线垂直，由BD⊥CC1，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC1A1．
（Ⅱ）先将二面角C1-BD-C的大小为60o，转化为对应的平面角的大小，根据三垂线定理可知：∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角，∴∠C1OC=60o，接着就可以求解异面直线BC1与AC所成角的大小．求异面直线所成的角，可用几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．连接A1B．∵A1C1∥AC，∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角．
解法二：
在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，DD1=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），C1（0，a，b）
（Ⅰ）、，
∴BD⊥AC，BD⊥CC1，又∵AC，CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．
（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为，先将二面角C1-BD-C的大小为60o，转化为对应的平面角的大小，通过计算可知：∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角，∴∠C1OC=60o，接着就可以求解异面直线BC1与AC所成角的大小．
【解析】
法一：
（Ⅰ）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，
∴CC1⊥平面ADCD，
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC
又∵AC，CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1．
（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C1O．
∵CC1⊥平面ADCD
∴BD⊥AC，
∴BD⊥C1O，
∴∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角，
∴∠C1OC=60o．连接A1B．
∵A1C1∥AC，
∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角．
设BC=a，则
CO=2a．
在△A1BC1中，由余弦定理得cosA1C1B=，
∴∠A1C1B=arccos'
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos．

法二：
（Ⅰ）建立空间直角坐标系D-xyz，如图．
设AD=a，DD1=b，则有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），C1（0，a，b），
∴=（0，0，b），∴=0，
∴BD⊥AC，BD⊥CC1，
又∵AC，CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1．

（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C1O，
则点O坐标为，
∵=0，∴BD⊥C1O，又∵BD⊥CO，
∴∠C1OC是二面角C1BDC的平面角，∴∠C1OC=60°，
∵tanC1OC=，∴a．
∵=（-a，0，b），
∴cos，
∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos．