Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求三棱锥C-BEP的体积．

Answer

（Ⅰ）欲证AF∥平面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面PCE内一直线平行，取PC的中点G，连接FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，满足定理条件；
（Ⅱ）三棱锥C-BEP的体积可转化成三棱锥P-BCE的体积，而PA⊥底面ABCD，从而PA即为三棱锥P-BCE的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
【解析】
证明：（Ⅰ）取PC的中点G，
连接FG、EG
∴FG为△CDP的中位线
∴FG CD
∵四边形ABCD为矩形，
E为AB的中点
∴AE CD
∴FG AE
∴四边形AEGF是平行四边形（2分）
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE
∴AF∥平面PCE（4分）
（Ⅱ）∵三棱锥C-BEP即为三棱锥P-BCE
∵PA⊥底面ABCD，即PA是三棱锥P-BCE的高
在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）
∴三棱锥C-BEP的体积
VC-BEP=VP-BCE==（12分）