Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）求三棱锥A₁-BCD的体积．

Answer

（1）由A1在平面BCD上的射影O在CD上得A1O⊥平面BCD⇒BC⊥A1O；又BC⊥CO⇒BC⊥平面A1CD⇒BC⊥A1D；
（2）先由ABCD为矩形⇒A1D⊥A1B，再由（Ⅰ）知A1D⊥BC⇒A1D⊥平面A1BC，即可得到平面A1BC⊥平面A1BD；
（3）把求三棱锥A1-BCD的体积转化为求三棱锥B-A1CD的体积即可．
证明：（1）连接A1O，
∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A1O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD
∴BC⊥A1O
又BC⊥CO，A1O∩CO=O，
∴BC⊥平面A1CD，又A1D⊂平面A1CD，
∴BC⊥A1D

（2）∵ABCD为矩形，∴A1D⊥A1B由（Ⅰ）知A1D⊥BC，A1B∩BC=B
∴A1D⊥平面A1BC，又A1D⊂平面A1BD
∴平面A1BC⊥平面A1BD
（3）∵A1D⊥平面A1BC，
∴A1D⊥A1C．
∵A1D=6，CD=10，∴A1C=8，
∴V=V==48．
故所求三棱锥A1-BCD的体积为：48．