Question

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱．
（I）若P为线段A₁B的中点，求证CP⊥AB；
（II）若A₁B⊥AC₁，求二面角A₁-AC₁-B的大小．

Answer

解法一：（I）证明线面垂直，利用三垂线定理，可得线线垂直；
（II）过AB=a，AA1=b，过B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥AC1于F，连接BF，可得∠HFE为二面角B-AC1-C的平面角，利用余弦定理可求二面角A1-AC1-B的大小；
解法二：（I）取AB中点O，以O为坐标原点建立直角坐标系，证明=0即可；
（II）求出平面A1AC1的一个法向量、平面BAC1的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
解法一：
（I）证明：取AB的中点O，连接PO、CO，…（1分）
∵棱柱ABC-A1B1C1为正三棱形，P是A1B的中点，∴O是AB的中点，∴PO∥A1A…（2分）
∴PO⊥平面ABC，∴CO是CP在平面ABC内的射影，
∵CO⊥AB．…（4分）∴CP⊥AB．…（5分）
（II）【解析】
过AB=a，AA1=b，过B作BE⊥AC于E，则BE⊥平面A1C，
过E作EF⊥AC1于F，连接BF，则BF⊥AC1，∴∠HFE为二面角B-AC1-C的平面角．…（7分）
在△ABC中，，延长CA到D，使CA=AD，连接A1D，则A1D∥C1A
∵A1B⊥AC1，∴A1D⊥A1B，
在，
在△BAD中，由DA=BA=A，∠BAD=120°得BD2=a2+a2-2a•a•cos120°=2a2+a2=3a2，
在，∴3a2=2（a2+b2），∴，…（9分）
由Rt△AFE∽Rt△ACC1得，，∴…（11分）
二面角A1-AC1-B的大小为π-arctan3．…（12分）
解法二：取AB中点O，以O为坐标原点建立如图直角坐标系，
设AB=2a，AA1=h，则，…（1分）
（I）
∵，∴…（5分）
（II）【解析】
，
∵，∴a•2a+0-h2=0，∴…（7分）
则，
设平面A1AC1的一个法向量为=（x，y，z），则
∴得平面A1AC1的一个法向量为…（8分）
又，
同理得平面BAC1的一个法向量为…（9分）
∴，…（11分）
∴二面角A1-AC1-B的大小为．…（12分）