Question

已知函数f（x）=（x³+ax）e^x，x∈R．
（I）若a=0，求函数y=f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在区间（0，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用导数即可得出其单调区间；
（Ⅱ）利用导数可知f′（x）≤0（x∈（0，1）），通过分离参数，再转化为利用导数求一个函数的最值问题即可．
【解析】
（I）当a=0时，f（x）=x3ex
∴f'（x）=3x2ex+x3ex=x2（3+x）ex，
令f′（x）=0，解得x=0，或-3．
①当x＞-3时，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；
②当x＜-3时，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）=x3ex在（-∞，-3）为减函数，在（-3，+∞）为增函数．
（II）∵f'（x）=（3x2+a）ex+（x3+ax）ex=（x3+3x2+ax+a）ex
由已知得（x3+3x2+ax+a）ex≤0在（0，1）上恒成立，
∴在（0，1）上恒成立．
令．
则=-．
∵x∈（0，1），∴g′（x）＜0．
∴函数g（x）在区间（0，1）上是减函数．
∴a≤g（1）=-2．
故a≤-2．