Question

已知双曲线的渐近线与抛物线C：y=x²+1相切于第一象限内的点P．
（I）求点P的坐标及双曲线E的离心率；
（II）记过点P的渐近线为l₁，双曲线的右焦点为F，过点F且垂直于l₁的直线l₂与双曲线E交于A、B两点．若l₂与抛物线至多有一个公共点，求△PAB面积的最大值．

Answer

（I）设切点P的坐标，根据双曲线E的渐近线与抛物线C相切，及P在抛物线C：y=x2+1上，即可求点P的坐标及双曲线E的离心率；
（II）利用点到直线的距离公式，求得△PAB的高，表示出△PAB的面积，根据直线l2与抛物线C至多有一个交点，确定a的范围，即可求△PAB面积的最大值．
【解析】
（I）设切点P的坐标为，则切线的斜率为…（1分）
因为双曲线E的渐近线与抛物线C相切，所以①
又因为②
由①、②消去x得：，即b2=4a2，…（3分）
又c2=a2+b2，所以c2-a2=4a2，c2=5a2，
即．…（4分）
由①、②还可得，即x=±1，
又P在第一象限，从而切点P的坐标为（1，2）…%分
（II）由（I）得l1的方程为y=2x，点F的坐标为，双曲线E的方程为4x2-y2=4a2．
因为l1⊥l2，所以l2的方程为．
由消去y得：．
从而．
故==．…（7分）
由点到直线的距离公式得△PAB的高．…（8分）
又因为直线l2与抛物线C至多有一个交点，
由方程组消去y得，故，
即…（9分）
所以△PAB的面积．
=．…（11分）
∴当a=时，．…（12分）