Question

已知离心率为的椭圆，左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），M、N分别是直线上的两上动点，且的最小值为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过定点P（m，0）的直线交椭圆于B、E两点，A为B关于x轴的对称点（A、P、B不共线），问：直线AE是否会经过x轴上一定点，并求AE过椭圆焦点时m的值．

Answer

（Ⅰ）先由e=得a=2c，得=4c，利用=0求出点M、N的坐标与c之间的关系，再利用两点间的距离公式求出|MN|的表达式，进而利用其最小值求出椭圆方程；
（Ⅱ）先把直线PB方程与椭圆方程联立，求出B、E两点坐标之间的等式并表示出直线AE的方程，令y=0得x，看此时求出的x的值是否为定值即可，再利用AE过椭圆焦点即可求m的值．
【解析】
（Ⅰ）由e=得a=2c，于是=4c，
设M（4c，y1），N（4c，y2），
因为=0，所以15c2+y1y2=0，所以y1y2=-15c2＜0，
∴||===≥，
∴=2⇒c=1，a=2，b=．
椭圆方程为=1．
（Ⅱ）设PB方程为y=k（x-m），代入=1
得（4k2+3）x2-8k2mx+（4m2k2-12）=0，
设B（x1，y1），E（x2，y2）则A（x1，-y1），
直线AE的方程为y-y2=（x-x2），令y=0得x=，
又y1=k（x1-m），y2=k（x2-m）代入上式得x=，
而x1+x2=，代入得x=，
所以AE过轴上定点（，0），
要使AE过椭圆焦点则．
所以m=±4．