Question

函数f（x）=在（-∞，+∞）上是单调函数的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由于函数f（x）为分段函数，故要使其为单调增函数，需每段上为增函数且x＜0时的最大值小于或等于x≥0时的最小值，同理得出其为单调减函数的条件，因此先求函数为增函数的充要条件，再比较选项中的集合与充要条件集合的包含关系即可判断其充要性．
【解析】
函数f（x）=，为分段函数，
（1）当函数f（x）=在（-∞，+∞）上是单调增函数时，
当x≥0时，y=ax2为二次函数，图象是对称轴为y轴的抛物线，它为增函数时，有a＞0；
当x＜0时，f（x）=（a2-1）eax是增函数，它的导函数为f′（x）=a（a2-1）eax，
令f′（x）≥0得-1≤a≤0或a≥1，且（a2-1）e≤0即-1≤a≤1，
∴综合得a=1；
（2）当函数f（x）=在（-∞，+∞）上是单调减函数时，
当x≥0时，y=ax2为二次函数，图象是对称轴为y轴的抛物线，它为减函数时，有a＜0；
当x＜0时，f（x）=（a2-1）eax是减函数，它的导函数为f′（x）=a（a2-1）eax，
令f′（x）≤0得
0≤a≤1或a≤-1，
且（a2-1）e≥0即a≤-1或a≥1，
∴综合得a≤-1．
综上所述，函数f（x）=在（-∞，+∞）上是单调函数的充要条件是a≤-1或a=1，
∵选项D：“”⇒a≤-1或a=1，反之不成立．
∴选项D：“”是“f（x）在R上单调递增”的必要不充分条件．
故选D．