Question

如图所示一系列数表依次是三项式（a+b+c）ⁿ（n=0，1，2，3，…）展开式系数按一定规律排列所得，可发现数表的第k行共有k个数．依此类推，数表6的第3行第1个数为    ，数表6的第5行第3个数为    ．

Answer

根据题意，观察数表5中每一行的第一个数，依次为1、4、6、4、1、…，结合（a+b+c）4的展开式的知识，可得变化的规律，进而归纳出数表6的规律，可得答案．
【解析】
由（a+b+c）4=[（a+b+c）2]2
=[a2+2a（b+c）+（b+c）2]2
=[a2+2a（b+c）+（b+c）2][a2+2a（b+c）+（b+c）2]
=a4+2a3（b+c）+a2（b+c）2+2a3（b+c）+4a2（b+c）2+2a（b+c）3+a2（b+c）2+2a（b+c）3+（b+c）4
=a4+4a3（b+c）+6a2（b+c）2+4a（b+c）3+（b+c）4
=a4+4a3b+4a3c+6a2b2+12a2bc+6a2c2+4ab3+12ab2c+12abc2+4ac3+b4+4b3c+6b2c2+4bc3+c4
再对照数表5，可得：
数表5的第3行第1个数6为（a+b+c）4展开式中a2b2的系数，数表5的第5行第3个数6也为a2b2的系数，
类似地，可得：
数表6的第3行第1个数为（a+b+c）5展开式中a3b2的系数=10，
数表6的第5行第3个数为（a+b+c）5展开式中a2b2c的系数=30，
故答案为：10，30．