Question

某企业某年生产某种产品，通过合理定价及促销活动，确保产销平衡（根据市场情况确定产量，使该年所生产产品刚好全部销售完毕），年产量、年销量均为x万件．已知每生产1万件产品需投入32万元的生产费用，另外该年生产设备折旧、维修等固定费用总共为4万元．每件产品定价为平均每件生产成本的150%进行销售，年销量x万件与年促销费用t万元之间满足关系：（k为常数），当年促销费用t=0万元时年销量是x=2万件．
（Ⅰ）将年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（Ⅱ）该企业年促销费投入多少万元时，企业年利润最大？相应年产量及最大年利润为多少？
注：生产成本=固定费用+生产费用  （不包括促销费用）
利润=销售收入-生产成本-促销费．

Answer

（Ⅰ）依题意，x=6-，将t=0，x=2代入得k=4，年销售量x=6-，t≥0．产销平衡即年产量等于年销量x万件，由此分别求出年生产成本和年销售收入，由此能（将年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数．
（Ⅱ）由y=98-=99-（t+1+），t≥0，利用均值不等式能求出当促销费投入7万元时，企业年利润最大，并能求出此时年产量和年利润最大值．
【解析】
（Ⅰ）依题意，x=6-，将t=0，x=2代入得k=4，
∴年销售量x=6-，t≥0．
依题意，产销平衡即年产量等于年销量x万件，
∴当年生产量为x万件时，
年生产成本=32x+4=32（6-）+4=196-，
平均每件产品生产成本=（196-）÷x，
年销售收入=[（196-）÷x]×=，
∴年利润y=-（196-）-t=98--t，t≥0．
（Ⅱ）∵y=98-=99-（t+1+），t≥0
∴t+1+≥2=16，
∴当且仅当t+1=，即t=7时，ymax=99-16=83．
∴当促销费投入7万元时，企业年利润最大，
此时年产量x=5.5万件，年利润最大值为83万元．