Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+a_n=-n（n∈N^*）恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=ln（a_n+1），求{a_nb_n}的前n项和；
（3）求证：．

Answer

（1）再写一式，两式相减，可得{an+1}是以为首项，为公比的等比数列，从而可得数列{an}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求和；
（3）确定通项，利用裂项法求和，即可证得结论．
（1）【解析】
∵Sn+an=-n①
∴n≥2时，Sn-1+an-1=-n+1②
①-②可得2an=an-1-1
∴2（an+1）=an-1+1
又a1=-，∴{an+1}是以为首项，为公比的等比数列
∴an+1=，∴an=-1；
（2）【解析】
bn=ln（an+1）=nln，∴anbn=[-1]•nln，
∴{anbn}的前n项和为ln[+2•+…+n•]-•ln
令Tn=ln[+2•+…+n•]，则Tn=ln[+2•+…+（n-1）•+n•]，
两式相减，可得Tn=ln（2--）
∴{anbn}的前n项和为ln（2--）-•ln；
（3）证明：由（1）知，=-2（-）
∴=-2（++…+-）
=-2（）＜2
∴．