Question

已知函数f（x）=cos（-）+cos（），k∈Z，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π）上的减区间；
（3）若f（α）=，α∈（0，），求tan（2α+）的值．

Answer

（1）先利用诱导公式、辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合 周期公式即可求解最小正周期
（2）结合正弦函数的单调递减区间可求函数的单调递减区间，然后结合已知x的范围即可求解
（3）由f（α）=可求sinα，然后结合及同角基本关系可求cosα，tanα，然后利用二倍角的正切公式可求tan2α=，最后利用两角和的正切公式可求
【解析】
（1）f（x）=cos（-）+cos（）
=cos+cos（2kπ+）
=sin+cos=sin（+），
所以，f（x）的最小正周期T==4π                
（2）由+2kπ≤，k∈Z
得，k∈z
令k=0，得
令k=-1可得，
∵x
∴f（x）在（0，π）上的单调递减区间是[）
（3）由f（α）=可得
两边同时平方可得，1+sin
∴sin
∵
∴cos
∴=，tan2α==
∴tan（2）===