Question

已知函数f（x）=，g（x）=
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求证：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：f（x₁）＞f（2-x₂）．

Answer

（1）利用导数即可求出；
（2）利用导数证明函数f（x）-g（x）的最小值大于0即可；
（3）利用（1）的结论和已知条件得出x1＜1＜x2，即可证明．
【解析】
（1）∵函数f（x）=，∴，
令f′（x）=0，解得x=1．
列表如下：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值且f（1）=．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=，
则h′（x）==．
当x＞1时，ex+2＞0，1-x＜0，2x＞2，可得e2-e2x＜0，
∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞h（1）=0，
故当x＞1时，f（x）＞g（x）．
（3）∵f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）上是减函数，如图所示．
∴当x1≠x2时，且f（x1）=f（x2）时，x1、x2不可能在同一个单调区间内．
∴必有x1＜1＜x2．
则f（x1）-f（2-x2）=f（x2）-f（2-x2）=-==f（x2）-g（x2）
由（2）可知：f（x2）＞g（x2）．
∴f（x1）-f（2-x2）＞0，即f（x1）＞f（2-x2）．