Question

设函数，若g（x）=（x-2）²f（x-1），y=g（x）的反函数y=g^-1（x），则g（3）•g^-1（1）的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

Answer

f（x）为分段函数，要求g（3）•g-1（1）可以先求g（3），代入g（x）=（x-2）2f（x-1），根据分段函数的性质即可求得，再求g-1（1）相当于求方程（x-2）2f（x-1）=1，求出x的值；
【解析】
∵函数，若g（x）=（x-2）2f（x-1），
∴g（3）=（3-2）2f（2）=f（2）=1；
要求g-1（1），y=g（x）的反函数y=g-1（x），
∴可得方程（x-2）2f（x-1）=1，
当x=1时，f（x-1）=f（0）=0，显然不可能；（x-2）2≥0，∴f（x-1）≠-1，即x≥0
若（x-2）2=1，可得x=3或x=1（舍去），
当x=3时，（3-2）2f（2）=1，满足，∴g-1（1）=3，
∴g（3）•g-1（1）=3，
故选D；