Question

正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．1：3
B．1：
C．
D．

Answer

三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，求出正三棱锥的外接球半径；再利用三棱锥的体积的两种求法，列出关于该正三棱锥的内切球的半径的等式，求出内切球的半径，最后求得内切球与外接球的半径之比即可．
【解析】
三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则
它的对角线的长度为：a
球的半径为：，
再设正三棱锥内切球的半径为r，
根据三棱锥的体积的两种求法，得
=[×3+]×r，
∴r=，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为=．
故选D．