Question

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分．
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

Answer

（I）根据题意写出甲和乙投中和不能投中的概率，甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，结合变量对应的事件写出变量的分布列和期望．
（II）甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的事件是甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中的对立事件，根据独立重复试验和对立事件的概率写出结果．
【解析】
（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则P（A）=，P（B）=，P（）=，P（）=．
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，
则ξ概率分布为：

∴Eξ=0×+2×=
∴每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为．
（Ⅱ）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是
“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件，
而P（C）=×=．
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为1-P（C）=．
即甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为．