Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N．
（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-B₁的正切值．

Answer

（1）设A1B1的中点为F，连接EF、FC1．跟中位线的性质可知EF B1B．进而根据C1M B1B判断出EF MC1．推断出EMC1F为平行四边形．进而可知EM∥FC1．推断出EM∥平面A1B1C1D1．
（2）作B1H⊥A1N于H，连接BH．根据BB1⊥平面A1B1C1D1，可知BH⊥A1N，进而推断出∠BHB1为二面角B-A1N-B1的平面角．根据EM∥平面A1B1C1D1，EM⊂平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N，推断出EM∥A1N．进而可推断出A1N∥FC1．A1F∥NC1，推知A1FC1N是平行四边形．AA1=a，在Rt△A1D1N中，求得A1N，进而求得sin∠A1ND1，同理求得B1H则在Rt△BB1H中求得答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F
∵E为A1B中点
∴EF∥BB1
又∵M为CC1中点
∴EF∥C1M
∴四边形EFC1M为平行四边形
∴EM∥FC1
而EM⊄平面A1B1C1D1．FC1⊂平面A1B1C1D1．
∴EM∥平面A1B1C1D1   （6分）
（Ⅱ）由（1）EM∥平面A1B1C1D1
EM⊂平面A1BMN
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N
∴A1N∥EM∥FC1
∴N为C1D1 中点
过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，
根据三垂线定理  BH⊥A1N
∠BHB1即为二面角B-A1N-B1的平面角（8分）
设AA1=a，则AB=2a，
∵A1B1C1D1为正方形
∴A1H=
又∵△A1B1H∽△NA1D1
∴B1H=，
在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=
即二面角B-A1N-B1的正切值为（12分）