Question

设x₁，x₂是函数的两个极值点，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：．

Answer

（I）对函数求导可得，f′（x）=ax2+bx-a2，由题意可得x1，x2是方程的两根，根据方程的根与系数的关系可得x1+x2，x1•x2，而，代入可求
（II）由（I）可得b2=4a2-4a3，构造函数g（a）=4a2-4a3，利用导数知识求函数g（a）的单调区间及最值，而b2≤g（a）max，即可．
【解析】
（Ⅰ）对f（x）求导可得f'（x）=ax2+bx-a2（a＞0）．（2分）
因为x1，x2是f（x）的两个极值点，所以x1，x2是方程f'（x）=0的两个实根．
于是，
故，
即b2=4a2-4a3．（4分）
由b2≥0得4a2-4a3≥0，解得a≤1．a＞0，
所以0＜a≤1得证．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b2=4a2-4a3，设g（a）=4a2-4a3，
则g'（a）=8a-12a2=4a（2-3a）．（8分）
由g'（a）＞0；g'（a）＜0．（10分）
故g（a）在时取得最大值，
即，
所以．（13分）