Question

在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆x²+y²=n²相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函数f（x）=m^x+1-n的零点x∈（k，k+1）k∈Z，则k=    ．

Answer

根据直线和圆相切知圆心到直线的距离等于半径，得到关于m和n的一个关系，又有m，n∈N，0＜|m-n|≤1，得到m和n的值，代入所给的函数式，那么本题就变化为求一个函数的零点的范围，两边取对数，写出x的表示式，根据对数的图象得到范围．
【解析】
∵直线和圆x2+y2=n2相切，
∴圆心到直线的距离是半径n，
∴
∴2m=2n，
∵m，n∈N，0＜|m-n|≤1，
∴m=3，n=4，
∴函数f（x）=mx+1-n=3x+1-4，
要求函数的零点所在的区间，
令f（x）=0，
即3x+1-4=0，
∴3x+1=4，
∴x+1=log34，
∴x=log34-1
∵log34∈（1，2）
∴x∈（0，1）
∴k=0
故答案为：0