Question

对于实数a，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a_n}满足如下条件：a₁=|a，a_n+1=其中n=1，2，3，…
（1）若a=，求数列{a_n}；
（2）当a时，对任意的n∈N^*，都有a_n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．
（3）若a是有理数，设a= （p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a_n=0成立，并证明你的结论．

Answer

（1）由题设知=，a2====，由此能求出．
（2）由a1=||a||=a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．
（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{am}中am以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有an=0．
【解析】
（1）∵满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，
a1=，an+1=其中n=1，2，3，…
∴=，a2====，…（2分）
ak=，则ak+1===，
所以．…（4分）
（2）∵a1=||a||=a，∴，∴1＜＜4，
①当，即1＜＜2时，==-1=a，
所以a2+a-1=0，
解得a=，（a=∉（，1），舍去）．…（6分）
②当，即2≤＜3时，a2==，
所以a2+2a-1=0，
解得a==，（a=-∉（，]，舍去）．…（7分）
③当，即3＜4时，，
所以a2+3a-1=0，
解得a=（a=，舍去）．…（9分）
综上，{a=，a=，a=}．…（10分）
（3）成立．…（11分）
证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，
可设（pn是非负整数，qn是正整数，且既约）．…（12分）
①由，得0≤p1≤q；…（13分）
②若pn≠0，设qn=apn+β（0≤βPn，α，β是非负整数）
则=a+，而由，得=，
==，
故Pn+1=β，qn+1=Pn，得0≤Pn+1＜Pn．…（14分）
若Pn=0，则pn+1=0，…（15分）
若a1，a2，a3，…，aq均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，
但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．…（17分）
故a1，a2，a3，…，aq中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得am=0．
从而数列{am}中am以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有an=0．…（18分）
（其它解法可参考给分）