Question

三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）当∠PCB=60°时，求三棱锥A-PCB的体积．

Answer

（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于点O，由PA=PB=PC，知O为△ABC的外心，由△ABC中，∠ACB=90°，知O为AB边的中点，由此能够证明平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）由PA=PB=PC，∠PCB=60°，知△PCB为正三角形，由AC=CB=2，知PA=PB=PC=2，OA=PO=，由此利用等积法能求出三棱锥A-PCB的体积．
证明：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于点O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O为△ABC的外心，
又∵△ABC中，∠ACB=90°，
故O为AB边的中点，
所以PO⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵PA=PB=PC，∠PCB=60°，∴△PCB为正三角形，
∵AC=CB=2，∴PA=PB=PC=2，
∴OA=PO=，
∴三棱锥A-PCB的体积VA-PCB=VP-ACB=•PO
=
=
=．…（12分）