Question

设数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由数列{an}为单调递增的等差数列，a1=1，且a3，a6，a12依次成等比数列，推导出1+5d=2（1+2d），由此能求出an=n．
（Ⅱ）由an=n，∴=n•2n，知Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅲ）由an=n，知=，由此利用裂项求和法能求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵数列{an}为单调递增的等差数列，a1=1，且a3，a6，a12依次成等比数列，
∴===2，
∴1+5d=2（1+2d），
解得d=1，
∴an=n．…．（4分）
（Ⅱ）∵an=n，∴=n•2n
∴数列{bn}的前n项和Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
∴2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，②
①-②，得-Sn=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1
=-（2-2n+1+n×2n+1），
∴Sn=2-2n+1+n×2n+1=（n-1）•2n+1+2．…．（13分）
（Ⅲ）∵an=n，
∴
=
=
=
=，
∴数列{cn}的前n项和
Tn=（）+（）+…+（）=．…（13分）