Question

已知△ABC的内角A、B的对边分别为a、b，A=45°，．
（Ⅰ）求sinB；  
 （Ⅱ）若a+b=12，求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）由C为三角形的内角及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sinB的值；
（Ⅱ）由sinA和sinB的值，利用正弦定理得出a与b的关系式7a=5b，与已知的a+b=12联立求出a与b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）∵在△ABC中，cosC=，
∴sinC==，
∵B=180°-（A+C），A=45°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=；…（6分）
（Ⅱ）∵sinA=，sinB=，
∴由正弦定理=得：===，即7a=5b①，
又a+b=12②，
联立①②解得：a=5，b=7，
则S△ABC=absinC=×5×7×=14．…（14分）