Question

18、在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角E-BD-P的大小为45°．

Answer

（1）由题设条件可证得DP，DA，DC三线两两垂直，故可以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，按题中所给的条件，给出各点的坐标，求出直线BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由数量积为0证明线面垂直．
（2）由（1）中的坐标系，及E为侧棱PC上一点，，给出用参数表示的点E的坐标，求出两个平面EBD与平面PBD的法向量，由公式用参数表示出二面角的余弦值，再令其值是45°的余弦值，解出其参数值即可．
【解析】
（1）证明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分）=（-1，1，0）．
所以=0，BC⊥DB，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D
所以BC⊥平面PBD．（8分）
（2）平面PBD的法向量为=（-1，1，0），，λ∈（0，1），所以E（0，2λ，1-λ），
设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），=（0，2λ，1-λ）
由n•=0，n•=0，得所以，
∴，（10分）
由cos解得λ=-1（12分）
（用传统方法解得答案酌情给分）