Question

已知椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程．
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若∠AOB是直角，其中O是坐标原点，求直线l的方程．

Answer

（1）由椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上，知，由此能求出椭圆的方程．
（2）由直线l过椭圆的右焦点F（，0），设l的方程为：y=k（x-），联立，得（4k2+1）x2-8k2x+12k2-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠AOB是直角，利用韦达定理和x1x2+y1y2=0能求出直线l的方程．
【解析】
（1）∵椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上，
∴，解得b2=1．
∴椭圆的方程为．
（2）∵直线l过椭圆的右焦点F（，0），
∴设l的方程为：y=k（x-），
联立，得（4k2+1）x2-8k2x+12k2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
y1y2=k（x1-）•k（x2-）=k2x1x2-（x1+x2）+3k2，
∵∠AOB是直角，
∴x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2-（x1+x2）+3k2
=（k2+1）•）-•+3k2
==0，
解得k=．
∴直线l的方程为y=（x-）．