Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）证明：．

Answer

（1）由函数f（x）=ex-ln（x+1），知f′（x）=ex-，由此能求出曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程．
（2）先求导数f′（x）然后在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的区间为单调增区间，f′（x）＜0的区间为单调减区间．
（3）由（2）知当x=0时，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，即ex-ln（x+1）≥1，即ex≥ln（x+1）+1，取x=，则≥ln（+1）+1=ln（n+1）-lnn+1，再分别令n=1，2，3，…，n得到n个不等式，相加即得．
【解析】
（1）∵函数f（x）=ex-ln（x+1），
∴f′（x）=ex-，
∴k=f′（0）=e-=0，
f（0）=e-ln1=1，
∴曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=0．
（2）∵f′（x）=ex-，x＞-1．
∴由f′（x）=ex-=0，得x=0．
当x＞0时，e＞1，＜1，所以当x＞0时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜0时，ex＜1，＞1，所以当x＜0时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞）．
（3）∵函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞），
∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，∴f（x）≥1，
∴ex-ln（x+1）≥1，即ex≥ln（x+1）+1，
取x=，则≥ln（+1）+1=ln（n+1）-lnn+1，
于是e≥ln2-ln1+1，
≥ln3-ln2+1，
≥ln4-ln3+1，
…
≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，e+++…+≥ln（n+1）+n．（n∈N*，e为常数）．
故．