Question

在△ABC中，B（10，0），直线BC与圆Γ：x²+（y-5）²=25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为    ．

Answer

设BC的中点为D，设点A和C的坐标，根据圆心Γ（0，5）到直线AB的距离等于半径5求出AB的斜率k的值．再由斜率公式
以及ΓD⊥BC，求出C的坐标，再利用三角形的重心公式求得A的坐标．
【解析】
设BC的中点为D，设点A（x1，y1 ）、C（x2，y2），则由题意可得ΓD⊥BC，且D（，）．
故有圆心Γ（0，5）到直线AB的距离ΓD=r=5．
设BC的方程为y-0=k（x-10），即 kx-y-10k=0．则有 =5，解得 k=0或 k=-．
当k=0时，有，当k=-时，有 ．
解得，或 ．
再由三角形的重心公式可得 ，由此求得  或 ，
故点A的坐标为 （0，15）或（-8，-1），
故答案为 （0，15）或（-8，-1）．