Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）椭圆离心率为，线l：x=-将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3，可确定几何量，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）设F2（c，0），则=，所以c=1．
因为离心率e=，所以a=，所以b=1
所以椭圆C的方程为．                    …（6分）
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=-，此时P（，0）、Q（，0），．
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（-，m） （m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，
则-1+4mk=0，∴k=．
此时，直线PQ斜率为k1=-4m，PQ的直线方程为，即y=-4mx-m．
联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2-2=0．
所以，．
于是=（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）
=
==．
令t=1+32m2，1＜t＜29，则．
又1＜t＜29，所以．
综上，的取值范围为[-1，）．…（15分）