Question

如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）
（I）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（II）证明：A₁B∥面ADC₁；
（Ⅲ）（文科做）图（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）
（Ⅲ）（理科做）求二面角A₁-DC₁-A的正弦值．

Answer

（I）直接求出正三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC的面积，求出高AA1，即可求出体积；
（II）连接A1C，证明A1B平行平面ADC1内的直线DE，即可证明A1B∥平面ADC1．
（Ⅲ）（文科做）通过直线与平面垂直，说明平面与平面垂直，直接列举出图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面即可；
（Ⅲ）（理科做）利用二面角A1-DC1-A的余弦值为，即可求得二面角A1-DC1-A的正弦值．
（I）【解析】
依题意，在正三棱柱中，AD=，AA1=3，从而AB=2，AA1⊥平面ABC，
所以正三棱柱的体积V=Sh=×AB×AD×AA1=×2××3=3．
（II）证明：连接A1C，设A1C∩AC1=E，
连接DE，因为AA1C1C是正三棱柱的侧面，
所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，
所以DE是△A1BC的中位线，DE∥A1B，
因为DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1；
（Ⅲ）（文科做）【解析】
AD垂直平面BCC1B1，AD⊂平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD⊂平面AC1D
所以垂直于平面BCC1B1的平面有：平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D；
（Ⅲ）（理科做）【解析】
△ADC1中，AD=，DC1=，AC1=，∴==
△A1DC1中，DC1=，A1C1=2，A1D=2，∴cos∠A1DC1==
∴sin∠A1DC1==
∴==
∴二面角A1-DC1-A的余弦值为==
∴二面角A1-DC1-A的正弦值为．