Question

如图，已知F₁，F₂分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆C的离心率e=，F₁也是抛物线C₁：y2=-4x的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂的直线l交椭圆C于D，E两点，且2=，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．

Answer

（Ⅰ）根据题意得抛物线C1的焦点坐标，从而列出关于a，c的等式解之即得a，c，再根据a，b，c的关系求出b值，最后写出椭圆C的方程；
（II）当直线l的斜率不存在时，不符合题意，故可设直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得k值，从而解决问题．
【解析】
（Ⅰ）因为抛物线C1的焦点是F1（-1，0），
则，得a=2，则b=，
故椭圆C的方程为…（4分）
（II）当直线l的斜率不存在时，不符合题意，
故可设直线l：y=k（x-1），设D（x1，y1），E（x2，y2），由于2=，则：
，得（+）x2-k2x+-1=0，
则x1+x2=，①，x1x2=，②
将x2=3-2x1代入①②，得：
3-x1=，…③3x1-2x=，…④
由③、④得k=，
x1==，x2=3-2x1=-，…（10分）
（i）若k=-时，y1=-，
y2=-（--1）=，
即G（-，-），D（，-），，
直线GD的方程是y+=（x+）；
（ii）当k=时，同理可求直线GD的方程是
y-=-（x+）；…（12分）