Question

已知函数f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a
（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数
的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解
（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解，在[1，2]上的最小值即可
【解析】
（Ⅰ）…（1分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（3分）
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；  …（5分）
（2）当a＜0时．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x
f'（x） - +
f（x） 极小值

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；
单调递增区间是．…（8分）
（III）由得，…（9分）
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即在[1，2]上恒成立．
即在[1，2]上恒成立．…（11分）
令，在[1，2]上，
所以h（x）在[1，2]为减函数.，
所以．…（14分）