Question

设对于任意实数x，不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-12．

Answer

（1）要使不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x-1|的最小值大于或等于m，问题转化为求f（x）的最小值．
（2）当m取最大值8时，原不等式等价于：|x-3|-2x≤4，去掉绝对值符号，解此不等式．
【解析】
（1）设f（x）=|x+7|+|x-1|，则有f（x）=，
当x≤-7时，f（x）有最小值8；当-7≤x≤1时，f（x）有最小值8；
当x≥1时，f（x）有最小值8．综上f（x）有最小值8，所以，m≤8．
（2）当m取最大值时m=8，原不等式等价于：|x-3|-2x≤4，
等价于：，或，
等价于：x≥3或-≤x≤3，
所以原不等式的解集为{x|x≥-}．