Question

设A₁、A₂为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A₁、A₂的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由，可得 y2=ax-x2＞0，故  0＜x＜a，代入=1，整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，，结合图形，求出椭圆的离心率e的范围．
【解析】
A1（-a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（-x，-y），=（a-x，-y），
∵，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y2=ax-x2＞0，∴0＜x＜a．
代入=1，整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，∵f（0）=-a2b2＜0，f（a）=0，如图：
△=（a3）2-4×（b2-a2）×（-a2b2）=a2（ a4-4a2b2+4b4 ）=a2（a2-2c2）2≥0，
∴对称轴满足 0＜-＜a，即 0＜＜a，∴＜1，
＞，又  0＜＜1，∴＜＜1，故选 D．