Question

已知函数f（x）=1+x-+-+…+，g（x）=1-x+-+-…-，设函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z内，则b-a的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

Answer

可通过导数法求得f（x）与g（x）的零点，从而可得f（x+3）和g（x-4）的零点，继而可求得F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具体区间，从而可求得b-a的最小值．
【解析】
∵f（x）=1+x-+-+…+，
∴f′（x）=（1-x）+（x2-x3）+…+x2012
=（1-x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012
当x=-1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，
当x≠-1时，f′（x）=（1-x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012
=（1-x）•+x2012
=＞0，
∴f（x）=1+x-+-+…+在R上单调递增；
又f（0）=1，
f（-1）=----…-＜0，
∴f（x）=1+x-+-+…+在（-1，0）上有唯一零点，
由-1＜x+3＜0得：-4＜x＜-3，
∴f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零点．
∵g（x）=1-x+-+-…-，
∴g′（x）=（-1+x）+（-x2+x3）+…-x2012
=-[（1-x）+（x2-x3）+…+x2012]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减；
又g（1）=（-）+（-）+…+（-）＞0，
g（2）=-1+（-）+（-）+…+（-），
∵n≥2时，-=＜0，
∴g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，
由1＜x-4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x-4）在（5，6）上有唯一零点．
∵函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），
∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x-4）的零点．
∴F（x）的零点区间为（-4，-3）∪（5，6）．
又b，a∈Z，
∴（b-a）min=6-（-4）=10．
故选C．