Question

在平面x0y内，不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，不等式组确定的平面区域为V．
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”．在区域U任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（Ⅱ）在区域U每次任取1个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）依题可知平面区域U的整点为13个，整点在平面区域V的有3个，由此能求出这些整点中恰有2个整点在区域V的概率．
（Ⅱ）依题可得，平面区域U的面积为π•22=4π，平面区域V与平面区域U相交部分的面积为=．在区域U任取1个点，则该点在区域V的概率为，随机变量X的可能取值为：0，1，2，3．分别求出其概率，由此能够求出X的分布列和EX．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）依题可知平面区域U的整点为：（0，0），（0，±1），（0，±2），
（±1，0），（±2，0），（±1，±1），共13个，
上述整点在平面区域V的为：（0，0），（1，0），（2，0）共有3个，
∴P==．…（4分）
（Ⅱ）依题可得，平面区域U的面积为π•22=4π，
平面区域V与平面区域U相交部分的面积为=．
在区域U任取1个点，则该点在区域V的概率为，
随机变量X的可能取值为：0，1，2，3．
P（X=0）=（1-）3=，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为

 X 1 2 3
P

∴X的数学期望：EX=0×+1×+2×+3×=．…（12分）