Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3，当n≥2时，a_n-1+a_n=4n；对于任意的正整数n，．设{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足13＜S_n＜14的n的集合．

Answer

（Ⅰ）在an-1+an=4n中，取n=2，得a1+a2=8，又a1=3，故a2=5．同样可得a3=7．由an-1+an=4n及an+1+an=4（n+1）两式相减可得：an+1-an-1=4，所以数列{an}的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而a2-a1=2，故{an}是公差为2的等差数列，故可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用，令n=1得b1=a1=3，，与两式相减可得：2nbn+1=（n+1）an+1-nan=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，，从而可求{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和，即可得出结论．
【解析】
（Ⅰ）在an-1+an=4n中，取n=2，得a1+a2=8，又a1=3，故a2=5．
同样取n=3，可得a2+a3=12，∴a3=7．（2分）
由an-1+an=4n及an+1+an=4（n+1）两式相减可得：an+1-an-1=4，
所以数列{an}的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而a2-a1=2，故{an}是公差为2的等差数列，
∴an=2n+1．（5分）
（Ⅱ）在中，令n=1得b1=a1=3．（6分）
又，与
两式相减可得：2nbn+1=（n+1）an+1-nan=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴，即当n≥2时，
经检验，b1=3也符合该式，所以，{bn}的通项公式为（9分）
．
．
相减可得：
利用等比数列求和公式并化简得：（11分）
可见，∀n∈N+，Sn＜14（12分）
经计算，，
注意到 {bn}的各项为正，故Sn单调递增，所以满足13＜Sn＜14的n的集合为{n|n≥6，n∈N}．（14分）