Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数P的取值范围；
（Ⅱ）当n∈N^*时，试判断与2ln（n+1）的大小关系，并证明你的结论；
（Ⅲ） 当n≥2且n∈N^*时，证明：．

Answer

（Ⅰ）要使函数f（x）在定义域内为增函数，只需f′（x）≥0在定义域恒成立，从而可求出p的值；
（Ⅱ）欲证 ＞2ln（n+1），只需证＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N*），分别取k=1，2，3，…，n，并将同向不等式相加可得结论；
（Ⅲ）先证＞ln（1+），从而可得＞lnk-ln（k-1），再分别取k=2，3，4，…，n，并将同向不等式相加，可得结论．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）p＞0，函数f（x）=定义域为[1，+∞）．
f′（x）=．
依题意，在x∈（1，+∞）恒成立，∴p≥在x∈（1，+∞）恒成立．
而=4[-（-）2+]≤1，
∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）证明：当n∈N*时，欲证 ＞2ln（n+1），只需证＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N*）．
由（Ⅰ）可知：取p=1，则f（x）≥f（1）（x≥1），
而f（1）=0，∴≥lnx（当x=1时，等号成立）．
用代换x，得（x＞0），即＞2[ln（x+1）-lnx]（x＞0）．，
∴＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N*）．
在上式中分别取k=1，2，3，…，n，并将同向不等式相加，得＞2ln（n+1）．
∴当n∈N*时，＞2ln（n+1）．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知≥lnx（x=1时，等号成立）．
而当x≥2时：x-1≥，∴当x≥2时，x-1＞lnx．
设g（x）=x-1-lnx，x∈（0，2），则g′（x）=1-=，
∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，2）上递增，
∴g（x）≥g（1）=0，即x-1≥lnx在x∈（0，2）时恒成立．
故当x∈（0，+∞）时，x-1≥lnx（当且仅当x=1时，等号成立）．…①
用x代换x-1得：x≥ln（1+x）（当且仅当1=0时，等号成立）．…②
当k≥2，k∈N*时，由①得k-1＞lnk＞0，∴＞．
当k≥2，k∈N*时，由②得 k＞ln（1+k），用代换k，得＞ln（1+）．
∴当k≥2，k∈N*时，＞ln（1+）．即＞lnk-ln（k-1）．
在上式中分别取k=2，3，4，…，n，并将同向不等式相加，得．
故当n≥2且n∈N*时，．…（14分）