Question

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

Answer

（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|
（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
【解析】
（1）因为图象的最高点为
所以A=，
由图知y=Asinϖx的周期为T=12，又T=，所以ω=，所以y=
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=
（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）
由正弦定理得，
所以NP=，MN=
设使折线段赛道MNP为L则
L=
=
=
所以L的最大值是