Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D是A₁B₁的中点，点E在A₁C₁上，且DE⊥AE．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACC₁A₁
（2）求直线AD和平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer

（1）欲证平面ADE⊥平面ACC1A1，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACC1A1垂直，而根据DE⊥AA1而DE⊥AE．AA1∩AE=A满足线面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC1A1；
（2）设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，可证平面ABC1⊥平面C1DF，过点D作DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1，连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．在三角形HAD中求出此角即可．
【解析】
（1）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知A1A1⊥平面A1B1C1
又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．
而DE⊥AE．AA1∩AE=A所以DE⊥平面ACC1A1，
又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．

（2）如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，
由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B1⊥C1D，
A1B1⊥DF又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF，
而AB∥A1B1，所以
AB⊥平面C1DF，又AB⊂平面ABC1，故
平面ABC1⊥平面C1DF．
过点D做DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．
连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．
由已知AB=AA1，不妨设AA1=，则AB=2，DF=，DC1=，
C1F=，AD==，DH===，
所以sin∠HAD==．
即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．