Question

已知函数（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数（m为实常数，m≠±1）的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点，求证：0＜a+b＜2．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用曲线C在点P处的切线的斜率为2及曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，分类讨论，确定函数的极值，从而可得g（x）极大-g（x）极小；
（Ⅲ）因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x2+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根，由此建立不等式，从而可得结论．
（Ⅰ）【解析】
求导函数可得f'（x）=x2+2ax+b，
∵直线x+2y-14=0的斜率为，∴曲线C在点P处的切线的斜率为2，∴f'（1）=1+2a+b=2…①
∵曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），∴…②
由①②得：a=-，b=…（3分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知：，∴，∴，由g'（x）=0⇒x=0，或．
当m2-1＞0，即m＞1，或m＜-1时，x，g'（x），g（x）变化如下表

x （-∞，0）
g'（x） + - +
g（x） 极大值 极小值

由表可知：=…（5分）
当m2-1＜0，即-1＜m＜1时，x，g'（x），g（x）变化如下表

x （-∞，0）
g'（x） - + -
g（x） 极小值 极大值

由表可知：=…（7分）
综上可知：当m＞1，或m＜-1时，g（x）极大-g（x）极小=；
当-1＜m＜1时，g（x）极大-g（x）极小=…（8分）
（Ⅲ）证明：因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，
即x2+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴ …（10分）
由 （1）+（3）得：a+b＞0，…（11分）
由（4）得：a+b＜a2+a，由（3）得：-2＜a＜-1，
∴a2+a=（a+）2-＜2，∴a+b＜2．
故0＜a+b＜2…（12分）