Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB+bcosA=2ctanC
（I）求tan（A+B）的值；
（II）若cosA=，求tanB的值．

Answer

（I）求tan（A+B）的值；
（II）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而确定出tanA的值，由tanB=tan[（A+B）-A]，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解析】
（I）∵acosB+bcosA=2ctanC，
∴由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCtanC，
∴sin（A+B）=2sinCtanC，
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B），
∴tan（A+B）=-；
（II）由cosA=，可得sinA==，
∴tanA=，
故tanB=tan[（A+B）-A]===-．