Question

某射手向一个气球射击，假定各次射击是相互独立的，且每次射击击破气球的概率均为．
（I）若该射手共射击三次，求第三次射击才将球击破的概率；
（II）给出两种积分方案：
方案甲：提供三次射击机会和一张700点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分128ξ点．
方案乙：提供四次射击机会和一张1000点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分256ξ点．
在执行上述两种方案时规定：若将球击破，则射击停止；若未击破，则继续射击直至用完规定的射击次数．
问：该射手应选择哪种方案才能使积分卡剩余点数最多，并说明理由．

Answer

（I）设Ai表示第i次将球击破，则P=P（），由此能求出第三次射击才将球击破的概率．
（II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3；对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4．分别求出Eη甲和Eη乙，能得到结果．
【解析】
（I）设Ai表示第i次将球击破，
则P=P（）==．（5分）
（II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3，
由已知可得P（ξ=0）=，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）=（）2×=，
P（ξ=3）=（）3=．
故Eξ=0×+1×+2×+3×=．
故Eη甲=E（700-128ξ）=700-128Eξ=478．（8分）
对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4，
由已知可得P（ξ=0）=，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）=（）2×=，
P（ξ=3）=（）3×=，
P（ξ=4）=（）4=
∴Eξ=0×+1×+2×+3+4×=．
故Eη乙=E（1000-256ξ）=1000-Eξ=475．（11分）
故Eη甲＞Eη乙，
所以选择方案甲积分卡剩余点数最多．（12分）