Question

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，=λ，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直线l的斜率；
（II）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，且||，||，2||成等差数列，求λ的值．

Answer

（I）先确定p=λ（x2-），进而求出B的坐标，即可求直线l的斜率；
（II）直线方程代入抛物线方程，求得A1、B1的横坐标，根据||，||，2||成等差数列，可得||+2||=2||，从而可得x2-2x1=，由此可求λ的值．
【解析】
依题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y，
则F（，0），准线方程为x=-，直线l的方程为y=k（x-），M（-，y），y2＞0
因为=λ，所以（p，-y）=λ（x2-，y），故p=λ（x2-）
（I）若λ=1，由p=λ（x2-），y22=2px2，y2＞0，得x2=，y2=p，
故点B的坐标为（）
所以直线l的斜率k==   （5分）
（II）联立y2=2px，y=k（x-），消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+=0，则x1x2=
又 （7分）
故  （9分）
因为||，||，2||成等差数列，
所以||+2||=2||，
故（x2-）+2（-x1）=p，即x2-2x1=
将，代入上式得
因为λ＞0，所以λ=2．   （12分）