Question

已知函数f（x）=x-，x∈[0，+∞），数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n=1，2，3…）
（I）设f′（x）=，求g（x）在[0，+∞）上的最小值；
（II）证明：0＜a_n+1＜a_n≤1；
（III）记T_n=++…+，证明：T_n＜1．

Answer

（I）求导函数，求得g（x）在[0，+∞）上为增函数，即可求g（x）在[0，+∞）上的最小值；
（II）利用数学归纳法证明，证题中注意f（x）在[0，+∞）上为增函数，及掌握数学归纳法的证题步骤；
（III）证明，结合等比数列的求和公式，即可得到结论．
（I）【解析】
∵f′（x）=，f′（x）=，
∴g（x）=（1+x）2-1+ln（1+x）   
∴g′（x）=2（1+x）+
当x≥0时，g′（x）＞0，∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，即g（x）的最小值为0；   
（II）证明：①当n=1时，a2=f（a1）=＜a1=1，
又g（x）≥0，则f′（x）=≥0
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，即f（x）≥f（0）=0
则a2=f（a1）＞f（0）=0，所以0＜a2＜a1≤1；
②假设当n=k时，结论成立，即0＜ak+1＜ak≤1，则
当n=k+1时，ak+2=f（ak+1）=＜ak+1≤1
∵f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴ak+2=f（ak+1）＞f（0）=0
∴0＜ak+2＜ak+1≤1，
∴当n=k+1时，结论也成立．
由①②知，0＜an+1＜an≤1；
（III）证明：由（II）0＜an+1＜an≤1得＞，即
故 
则Tn=++…+
＜++…+=＜=a1=1
所以Tn＜1成立．