Question

某高校2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[160，165），第2组[165，170），第3组[170，175），第4组[175，180），第5组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求第3、4、5组的频率并估计这次考试成绩的众数；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求：第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率？

Answer

（1）利用频率等于频数乘以组距得到各组的频率，根据众数是直方图中最高矩形的底边中点的坐标，求出众数的估计值．
（2）利用频数等于频率乘以样本容量得到，第3，4，5组共有60名学生，利用各组的人数与样本容量的比乘以60得到每组抽取的人数．
（3）列举出从六位同学中抽两位同学的所有的抽法，列举出第4组的2位同学为B1，B2，至少有一位同学入选的抽法，由古典概型的概率公式求出概率．
【解析】
（1）由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3；
第4组的频率为0.04×5=0.2
第5组的频率为0.02×5=0.1．…（3分）
估计这次考试成绩的众数为167．（5分）．…（4分）
（2）第三组的人数为0.3×100=30人；
第四组的人数为0.2×100=20人；
第五组的人数为0.1×100=10人；
因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
第3组抽30×=3人； …（5分）
第4组抽20×=2人； …（6分）
第5组抽10×=1人； …（7分）
所以第3，4，5组分别抽取出3人，2人和1人．…（8分）
（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的两位同学为B1，B2，
第5组的1位同学为C1，…（9分）
则从六位同学中抽两位同学有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1）（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），
（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）
共15种可能．…（10分）
其中第4组的2位同学为B1，B2，至少有一位同学入选的有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1）（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）共9种可能…（11分）
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为．…（13分）．