Question

如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC=2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求证：
（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面BAE．

Answer

（1）在半圆中，AB⊥AC，而平面ACDE⊥平面ABC，且交线为AC，故由两平面垂直的性质定理可知：AB⊥平面ACDE，由两平面垂直的判定定义可知：平面ABE⊥平面ACDE；
（2）设OF∩AC=M，连接DM，OA，由F为的中点，得M为AC的中点，所以DE∥AC，得四边形AMDE为平行四边形，从而DM∥AE，DM∥平面ABE；由OM∥AB得，OM∥平面ABE；由两个平面平行的判定定理，可知平面OFD∥平面BAE．
证明：（1）∵BC是半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点AC
∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB
∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，AB⊂平面ABC
∴由两个平面垂直的性质得，AB⊥平面ACDE
∵AB⊂平面ABE
∴平面ABE⊥平面ACDE．
（2）如图，设OF∩AC=M，连接DM，OA
∵F为的中点
∴M为AC的中点．
∵AC=2DE，DE∥AC
∴DE∥AM，DE=AM
∴四边形AMDE为平行四边形．
∴DM∥AE
∵DM⊄平面ABE，AE⊂平面ABE
∴DM∥平面ABE
∵O为BC中点
∴OM为三角形ABC的中位线
∴OM∥AB
∵OM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE
∴OM∥平面ABE
∵OM⊂平面OFD，DM⊂平面OFD，OM∩DM=M
∴由两个平面平行的判定定理可知，平面OFD∥平面ABE．