Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₄-1）³+2007（a₄-1）=1，（a₂₀₀₄-1）³+2007（a₂₀₀₄-1）=-1，则下列结论中正确的是（ ）
A．S₂₀₀₇=2007，a₂₀₀₄＜a₄
B．S₂₀₀₇=2007，a₂₀₀₄＞a₄
C．S₂₀₀₇=2008，a₂₀₀₄≤a₄
D．S₂₀₀₇=2008，a₂₀₀₄≥a₄

Answer

根据题意建立一个函数f（x）=x3+2007x，求出f（x）的导函数，进而得到导函数恒大于0，即函数f（x）为单调递增函数且为奇函数，根据已知的两等式，得到f（a4-1）等于1及f（a2004-1）等于-1，由f（x）为奇函数得到f（1-a2004）等于1，由函数的单调性得到a4-1与1-a2004相等即a4+a2004=2，根据f（a4-1）大于f（a2004-1），由函数的单调性，得到a2004＜a4，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出S2007，根据等差数列的性质化简后，将a4+a2004=2代入即可求出值．
【解析】
令f（x）=x3+2007x，f'（x）=3x2+2007＞0，
得到f（x）在R上单调递增，且f（x）为奇函数．
由条件，有f（a4-1）=1，f（a2004-1）=-1，即f（1-a2004）=1．
∴a4-1=1-a2004，从而a4+a2004=2，
又根据f（a4-1）＜f（a2004-1），得到a2004-1＜a4-1，
∴a2004＜a4．
而．
故选A