Question

已知正数数列{a_n}的前n项和为Sn，满足S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（I）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（II）设b_n=（1-）²-a（1-），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

法一：
（Ⅰ）由Sn2=a13+a23+…+an3，知Sn-12=a13+a23+…+an-13，两式相减，得=an（Sn+Sn-1），由an＞0，知（n≥2），故，两式相减，得=an+an-1，由此能够证明数列{an}为等差数列，通项公式为an=n．
（Ⅱ）=，令，则，设g（t）=t2+（a-2）t+1-a，当a＜时，g（t）在（0，]上为减函数，由此能求出实数a的取值范围．
法二：
（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ），故，由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
法一：
（Ⅰ）∵Sn2=a13+a23+…+an3，
∴Sn-12=a13+a23+…+an-13，
两式相减，得=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1），
∵an＞0，∴（n≥2），
∴，
两式相减，得=an+an-1，
∴an-an-1=1（n＞3），
∵，且a1＞0，∴a1=1，
，
∴（1+a2）2=1+，∴，
由a2＞0，得a2=2，
∴an-an-1=1，n≥2，
故数列{an}为等差数列，通项公式为an=n．
（Ⅱ）=，
令，则，
设g（t）=t2+（a-2）t+1-a，
当时，即a＜时，g（t）在（0，]上为减函数，
且，∴b1＜b2＜b3＜…
当时，即时，，从而b2≤b1不合题意，
∴实数a的取值范围．
法二：
（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ），
∴，
即对任意n∈N*成立，
∴实数a的取值范围．